jacques a écrit :
<alainverghote@yahoo.fr> a écrit
peut-on expliquer le simple rapport existant entre
l'aire du grand cercle : pi*r^2 et l'aire de la sphère : 4*pi*r^2?
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La relation est plutôt à faire avec le [ périmètre ]
La surface s'inscrivant dans un rectangle de ..
longueur = périmètre du grand cercle de la sphère
largeur = diamètre de la sphère
Eureka, et grace au tuyau de Jacques qui donne la piste du rectangle
"kivabien".
Donc démonstration de l'aire de la sphère sans intégrales et sans
passer par le volume.
Considérons une bande de sphère, de rayon HA = R*cos(t)
et de largeur AB. si AB est "sufisamment petit", AB = R*u,
u en radians, et l'aire de la bande est
2*pi*HA*AB = 2*pi*R^2*cos(t)*u
(en fait il faut prendre le rayon moyen (AH+BK)/2, mais comme u est
"petit", c'est = R*cos(t) quand même)
Voir avec une police fixe
.. ______
.. | `'`-.._ |
.. K|__________`-.B___________|V
.. | ,'`. |
.. H|.........../....A........|U
.. | / ,' `. |
.. | ,'u ,' \ |
.. | / ,' `. |
.. | ,' ,' `. |
.. | / ,' | |
.. | /,' ||
.. | ,;' ||
.. |,' t |
.. `-------------------------|
.. O R ||
.. ||
Projetons cette bande sur le cylindre entourant la sphère.
On obtient une bande cylindrique de hauteur UV et de rayon celui de
la sphère = R.
Comme l'angle de AB avec UV est aussi égal à t, on a
UV = AB*cos(t)
et donc l'aire de la bande de cylindre est égale à
2*pi*R*UV = 2*pi*R*AB*cos(t) = 2*pi*R^2*cos(t)*u !!!
L'aire de la bande sur le cylindre est égale à l'aire de la bande sur
la sphère.
En sommant toutes les bandes, on obtient :
L'aire de la sphère est égale à celle du cylindre de rayon R et de
hauteur 2*R
soit 2*pi*R*(2*R) = 4*pi*R^2. CQFD
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Philippe C., mail : chephip
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