andre.hetzel@gmail.com wrote:
4 pi r ^ 2 sauf erreur
Mais comment le démontre-t-on ?
Comme l'a montré Ophélie, calculer l'aire de la sphère revient à
calculer le volume de la boule de rayon r : 4/3*Pi*r^3. (J'appelle
sphère la surface limite de la boule).
Cette formule remonte à Archimède (Traité de la méthode). La
démonstration est difficile (surtout sans dessin). Il opère comme
suit.
Il considère
a) une boule de rayon r
b) un cône de révolution ayant son sommet O sur la sphère, ayant pour
axe un diamètre de la sphère, l'angle entre son axe et l'une des
droites génératrices du cône étant de 45°. La base du cône, tangent à
la sphère au point diamétralement opposé à O est un cercle de rayon
2r.
c) un cylindre de révolution ayant pour base la même base que le cône,
et ayant pour hauteur 2r égal le diamètre de la sphère.
Etape 1)
**********
Il coupe boule, cône et cylindre par un plan parallèle à la base du
cône et du cylindre. Si ce plan est situé à une distance z de O, alors
:
1) La section du cylindre par ce plan est un disque d'aire Pi*(2r)^2
puisque le rayon de la base du cylindre est 2r.
2) La section du cône par ce plan est un disque d'aire Pi*z^2 (le
rayon de ce disque est égal à la distance z à O à cause de l'angle de
45° avec l'axe au sommet du cône)
3) La section de la boule par le plan est un disque dont le rayon R
est tel que z*(2r-z)=R^2 (propriété classique d'une hauteur R sur un
diamètre d'un cercle qu'il coupe en deux segments de longueur z et
2r-z). L'aire du disque est donc Pi*R^2 = Pi*z*(2r-z)
Etape 2)
**********
Il place le disque, section du cylindre, sur le plateau droit d'une
balance situé à une distance z du point d'équilibre O, et les deux
autres disques (celui de la sphère et celui du cône) sur le plateau
gauche de la balance supposé être placé à une distance 2r du point
d'équilibre O. Il constate qu'il y a alors équilibre entre les deux
plateaux car (égalité entre les produits des masses par les longueurs
des bras de la balance) :
2r * ( Pi*z^2 + Pi*z*(2r-z) ) = z * Pi*(2r)^2
Etape 3)
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Puisqu'il y a équilibre tranche par tranche, il en déduit que la
totalité de la sphère et du cône, placés tous deux sur le plateau
gauche de la balance à une distance 2r du point d'équilibre O,
équilibrera le cylindre dont chaque tranche est laissée à sa place (la
tranche située à une distance z de O est laissée à cette distance z)
de sorte que le cylindre n'est pas déplacé).
Archimède connaît le volume du cylindre (Pi*(2r)^2*2r) et son centre
de gravité est situé à la distance r de O. Il connaît le volume du
cône (1/3*(2r)*Pi*(2r)^2). Soit V le volume inconnu de la boule.
L'équilibre de la balance se traduit par :
(V + 1/3*(2r)*Pi*(2r)^2) * 2r = (Pi*(2r)^2*2r) * r
soit :
V + 8/3*Pi*r^3 = 4*Pi*r^3
ou enfin
V = 4/3*Pi*r^3
CQFD
Personnellement, je trouve incroyable qu'une telle abstraction ait pu
être conçue au IIIème siècle avant JC.
L'aire de la sphère est également donnée par Archimède, par le même
raisonnement que celui d'Ophélie.
Les démonstrations modernes utilisent le calcul intégral inventé à la
fin du XVIIème par Newton et Leibniz mais ne sont accessibles qu'au
niveau Terminale ou post-bac.
Lavau Gérard
