Bonjour ,

Je suis juste lycéenne (seconde) , mais je pense pouvoir t'aider car le raisonnement n'est pas encore trop compliqué :

Imagine une "sphère" (si on peut appeler ça comme ça !!!) qui serait formée d'un assemblage de "cônes de révolution" , tous identiques et reliés tous entre eux par le sommet (par leur "pointe") . Si tu peux te représenter un tel objet, alors mon explication te semblera simple . Sinon je crois qu'il vaudrait mieux que qqun d'autre explique mieux que moi .

On imagine (facilement ?) que , plus le rayon de la base de chaque cône est petit , plus il faudra de cônes pour former une "sphère" entière , mais surtout plus l'objet prendra la forme d'une sphère véritable .
(Une infinité de cônes de révolution [qui se tiennent par le sommet et qui ont pour base juste une "tête d'épingle"] finit par donner une pelote d'épingles véritablement "sphérique") .

Or, les mathématiciens de l'Antiquité savaient déjà calculer le volume  d'un cône de révolution (soit (1/3)*base*hauteur) ainsi que le volume d'une sphère, qui vaut (4*pi*R^3)/3 (en divisant la sphère en une infinité de cônes de révolution, justement) .

Donc , sur base du raisonnement dont je viens de te parler et en reliant les deux formules , ils ont obtenu :
Volume de la sphère = volume de tous les cônes de révolution "à base microscopique , infinitésimale"
Donc :
(4*pi*R^3)/3  = (1/3)*toutes les bases*hauteur
et en posant hauteur = rayon de la sphère = R , ça donne :
(4*pi*R^3)/3  = (1/3)*toutes les bases*R
Donc :
toutes les bases = ( (4*pi*R^3)/3  ) divisé par ( (1/3)*R = 4*pi*R^2

Or , toutes les bases mises ensemble valent - plus chacune d'elles est petite - la superficie de la sphère , on l'a "vu".

Donc on a bien :
superficie de la sphère = 4*pi*R^2 .

Voilà ! J'espère avoir été claire et ne pas avoir commis d'erreurs de retranscription .

Ophélie