Joe Cool a écrit :

Nicolas a écrit :

J'ai toujours pensé que dans une telle situation, le mot hypothèse signifiait "d'après l'énoncé", considérant ainsi qu'une hypothèse était une donnée de l'exercice.

C'est le cas.

Mais je pense aujourd'hui que je me trompe. En fait, à l'époque je rédigeais ainsi parce qu'on m'avais appris à le faire ainsi mais sans vraiment comprendre.
"Par hypothèse" ne signifie pas "d'après l'énoncé" mais plutôt "j'utilise l'énoncé comme hypothèse" du théorème de Pythagore que je veux appliquer.

Qu'en pensez-vous ?

Est-ce que je me trompe ?

Je ne pense pas. Les hypothèses sont constituées de tout ce qui est affirmé sans preuve:

«Soit A, B et C des points tel que le triangle ABC soit rectangle en A»

On peut aussi affirmer des choses absurdes (mais ce n'est pas accepté par tout le monde comme un principe de raisonnement correct):

«Soit A, B et C des points non alignés tels que le triangle ABC soit rectangle en A et en B»

Des hypothèses seules ne constituent pas une démonstration: il faut toujours les appliquer à quelque chose, un théorème, en faire l'implicant d'une conditionnelle, etc.

la conditionnelle d'un implicant, non ?

Cependant, dans une affirmation du type «si A alors B», A n'est pas une hypothèse mais une condition.

et comment s'appelle B, la conclusion ou l'implicant ou les deux noms sont possibles ?

Concernant toutes ces questions de raisonnement, je conseille toujours la lecture des premiers chapitres de «Introduction à la logique», de David, Nour et Raffalli; ils exposent les rudiments du raisonnement mathématique rigoureux ainsi que la signification et l'usage correct des tournures de phrase usuelles en mathématiques.

Moi cette discussion m'intéresse. Merci Joe pour ces infos.

Voici une autre chose :

Par exemple, lorsque l'on énonce un théorème, il y a plusieurs façons de   le faire. Prenons un classique, le théorème de Pythagore. Il peut s'énoncer de façon assez littéraire, sans "si ... alors ..." :

"Dans un triangle rectangle, le carré (de la longueur) de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés (des longueurs) des côtés de l'angle droit. (on peut arriver à faire ceci avec d'autres théorèmes)

Il peut également s'énoncer avec "si ... alors ..." :

"Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC²=AC²+AB²"

(Pour moi, une formulation en "si ..., alors ..." est la marque de l'énoncé d'un théorème et je crois que les autres formulations peuvent prêter à confusion. Maintenant, je me trompe peut-être, dites-moi ?)

Mon problème est multiple (et imaginer les problèmes que rencontrent les collègiens et leurs professeurs de mathématiques !). Regardons encore une autre formulation du théorème de Pythagore.

"Soit ABC un triangle.
Si ABC est rectangle en A, alors BC²=AC²+AB²"

Cette formulation est courante. Ici, il n'y a pas trop de problème. Le "soit ABC un triangle" pourrait être omis.

Voyons plutôt un exemple sur un autre théorème (Thalès 3ème):

"(d) et (d') deux droites sécantes en A
M et B deux points appartenant à (d) distincts de A.
N et C deux points appartenant à (d') distincts de A.

Si (MN) est parallème à (BC) alors AM/AB=AN/AC=MN/BC"

Cette formulation est courante, on la retrouve dans plusieurs livres de math 3ème dont le Transmath chez Nathan (nouveau programme en vigueur cette année)

D'un point de vu logique, je voudrais savoir quel statut accorder aux trois premières lignes dans cet énoncé. On pourrait mettre "Soient" devant chacune d'entre elles. S'agit-il de conditions ? Pourquoi ne l'intègre-t-on pas dans le "Si ... , alors ..." Est-ce pour ne pas alourdir la phrase ? Si c'est le cas, je trouve que l'on y perd au niveau de la relation condition/conclusion.

Pour ma part, il ne me semble pas que ce soient des conditions car on retrouve également ces trois lignes dans l'énoncé de la réciproque. De plus, lorsque l'on énonce la réciproque du théorème de Thalès, il y a ces points alignés dans le même ordre qui interviennent en "tombant du ciel".

"(d) et (d') deux droites sécantes en A
M et B deux points appartenant à (d) distincts de A.
N et C deux points appartenant à (d') distincts de A.

Si AM/AB=AN/AC et si A, B et M sont dans le même ordre que A, C et N, alors (BC) est parallèle à (MN)"

Ceci pose problème car lorsque l'on explique à des élèves de 5ème ce qu'est une réciproque, c'est pourtant facile, il suffit d'inverser condition et conclusion.

Quant à l'alignement dans le même ordre, c'est une chose qui devrait apparaître en conclusion du théorème de Thalès (c'est une conséquence du parallélisme) mais personne ne le fait jamais. Pourquoi ? Ca permettrait   d'expliquer plus sérieusement l'alignement dans le même ordre dans la réciproque et de redonner plus de sens à cette notion de réciproque. (et je ne parle même pas du fait que dans l'égalité des rapports, il y en a une qui a disparu)

Au fond, théorème de Thalès et réciproque ont les mêmes hypothèses (les trois premières lignes)

Moi je voudrais améliorer l'énonciation de ces théorèmes, dites-moi ce
que vous en pensez.


Pour ma part, j'ajoute ceci : le mot hypothèse en math j'essaie de le bannir car je m'aperçois que d'un professeur de math à l'autre, la notion n'est pas la même ce qui peut poser des problèmes assez sérieux lorsque l'on change de professeur entre les classes de 4ème et de 3ème.
Pour certains, une hypothèse c'est seulement ce qu'il y a juste après le "si" et avant le "alors". Pour d'autres ce sont les données d'un exercice (je suis malgré tout d'accord avec ça et ça pose déjà le problème de la différence de signification du mot "hypothèse" entre les math et les autres domaines). Pour d'autres encore, cela peut vouloir dire les deux (!?!).

Certains énoncent le théorème de Pythagore de façon littéraire, je crois que c'est à proscrire et je pense qu'il faut l'implcation en "Si ..., alors ..." : c'est la marque de l'énoncé d'un théorème.

Enfin, le mot "donc" est à proscrire dans l'énoncé de théorème. Pour moi, il traduit ce principe de logique qui est "l'élimination de l'implication" ou "modus ponens": Lorsque l'on a (A) ET (A=>B), on a (B). "Donc" est la marque de l'application d'un principe de logique.

Il faut faire une différence entre énoncer un théorème et appliquer un théorème.