Jean a écrit :

Joe Cool a écrit :

Des hypothèses seules ne constituent pas une démonstration: il faut toujours les appliquer à quelque chose, un théorème, en faire l'implicant d'une conditionnelle, etc.

la conditionnelle d'un implicant, non ?

Dans une implication «si A alors B», A est l'implicant et B l'impliqué. Je n'aime pas trop ces termes, plutôt utilisés en calcul booléen; on dit plutôt que «si A alors B» est une conditionnelle dont A est la condition et B la conclusion.

"Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC²=AC²+AB²"

(Pour moi, une formulation en "si ..., alors ..." est la marque de l'énoncé d'un théorème et je crois que les autres formulations peuvent prêter à confusion. Maintenant, je me trompe peut-être, dites-moi ?)

Il y a toujours des quantifications implicites dans les énoncés des théorèmes:

«Pour tout points A, B et C, si ABC forme un triangle rectangle en A, alors BC²=AC²+AB²»

"Soit ABC un triangle.
Si ABC est rectangle en A, alors BC²=AC²+AB²"

Cette formulation est courante. Ici, il n'y a pas trop de problème. Le "soit ABC un triangle" pourrait être omis.

Il s'agit de la quantification universelle, qui ne peut formellement être omise.

Voyons plutôt un exemple sur un autre théorème (Thalès 3ème):

"(d) et (d') deux droites sécantes en A
M et B deux points appartenant à (d) distincts de A.
N et C deux points appartenant à (d') distincts de A.

Si (MN) est parallème à (BC) alors AM/AB=AN/AC=MN/BC"

[...]

D'un point de vu logique, je voudrais savoir quel statut accorder aux trois premières lignes dans cet énoncé. On pourrait mettre "Soient" devant chacune d'entre elles. S'agit-il de conditions ? Pourquoi ne l'intègre-t-on pas dans le "Si ... , alors ..." Est-ce pour ne pas alourdir la phrase ? Si c'est le cas, je trouve que l'on y perd au niveau de la relation condition/conclusion.

Il s'agit encore de quantifications universelles. Quand on utilise des phrases du style:

«Soit P(A); on a Q(A)»

En fait on dénote:

«Pour tout A, si P(A) alors Q(A)».

Avec un «Soit», on a la possibilité de bien séparer les définitions, les hypothèses et la conclusion. C'est une question de style: on cherche à simplifier le formalisme afin de le rendre le plus lisible possible.

Pour ma part, il ne me semble pas que ce soient des conditions car on retrouve également ces trois lignes dans l'énoncé de la réciproque.

En résumé, la quantification introduit des variables d'individus, c'est-à-dire les noms des objets dont on va parler, un peu comme des déclarations de variables dans un programme informatique. Ensuite, on pose des hypothèses pour fixer les propriétés des individus nommés: on les définit en tant qu'objets d'une classe particulière. Enfin, on énonce les propriétés déduites de ces définitions.

Déclarations: «Pour tout A, B, C»
Définitions: «si A, B et C sont des points tels que ABC soit un triangle rectangle en A»
Propriété: «alors BC²=AC²+AB²»

de même:

Déclarations/définitions: «Soit ABC un triangle rectangle en A»
Propriété: «alors BC²=AC²+AB²»

Dans ce cas, on a omis certains détails techniques comme par exemple la nature des objets A, B et C: comme ABC est un triangle, on se doute bien que ce sont des points. Dans un énoncé en français, on cherche à faire apparaître le squelette et les points-clés de la démonstration; tous les détails doivent pouvoir être inférés si nécessaire; mais on ne les explicite pas afin de garder une formulation la plus simple et la plus intuitive possible.

Au fond, théorème de Thalès et réciproque ont les mêmes hypothèses (les trois premières lignes)

C'est normal vu que le théorème et sa réciproque opèrent sur les mêmes types d'objets; mais il faut faire un effort de présentation pour expliciter l'équivalence de deux propriétés: il faut les extraire du bloc des définitions pour les mettre en relief. On commence par les déclarations/définitions:

«Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A.
Soient B un point distinct de A appartenant à (d) et C un point distinct de A appartenant à (d').
Soient M un point du segment ]A;B[ et N un point du segment ]A;C[.»

Puis on poursuit par les propriétés démontrées, propriétés portant sur les objets définis plus haut:

«Si (MN) est parallème à (BC) alors AM/AB=AN/AC.»

«Si AM/AB=AN/AC alors (MN) est parallèle à (BC)"»

Il n'y a pas de différence de nature entre les hypothèses et les définitions: les définitions sont des hypothèses que l'on présente différemment. Quand aux déclarations, on les noie dans les définitions quand elles ne revêtent qu'un aspect technique.

Pour ma part, j'ajoute ceci : le mot hypothèse en math j'essaie de le bannir car je m'aperçois que d'un professeur de math à l'autre, la notion n'est pas la même ce qui peut poser des problèmes assez sérieux lorsque l'on change de professeur entre les classes de 4ème et de 3ème.
Pour certains, une hypothèse c'est seulement ce qu'il y a juste après le "si" et avant le "alors".

Je pense que c'est impropre. Dans ce cas, on parle de condition, ou de garde, comme dans le cas suivant:

«Soit n un entier distinct de 0.
Si n est pair alors n² est pair sinon n² est impair»

Dans ce cas, les conditions «n pair» et «n impair» ne sont pas des hypothèses mais des propriétés sélectionnant la conclusion adaptée, selon la parité de n.

Pour d'autres ce sont les données d'un exercice (je suis malgré tout d'accord avec ça et ça pose déjà le problème de la différence de signification du mot "hypothèse" entre les math et les autres domaines). Pour d'autres encore, cela peut vouloir dire les deux (!?!).

L'énoncé d'un exercice est effectivement un ensemble d'hypothèses. Le calcul des séquents montre bien la différence entre une hypothèse et une condition: les hypothèses sont les formules à gauche du symbole «|-» dans un séquent «X,Y,Z,… |- A».

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Joe Cool