UGLi a écrit :

Je précise : j'aurais aimé que l'étude des groupes monogènes viennent avant la définition d'anneau [...]

Pourquoi diable ?

Vos remarques sont effectivement appropriées.
Je m'évertue à vouloir préparer des leçons a priori "self-contained" et à la fois ouverte sur "la suite".
Pardonnez-moi le côté linéaire de la chose. J'ai beaucoup de mal à organiser la quantité de matière parfois très conséquente "dans l'adhérence des leçons".
Quant à admettre Z et son arithmétique de base (quitte à évoquer sa structure d'anneau principal), je vais finir par m'y conformer.

Pour éviter de parler même de division, on peut procéder comme suit (c'est un peu artificiel, mais bon...):

soit G un sous-groupe de Z. Si G est nul, alors G=0Z. Sinon G contient
un entier strictement positif n, et alors nZ est contenu dans G. Alors
Z/G est fini, de cardinal m au plus égal au cardinal n de Z/nZ, et
c'est un groupe cyclique. Alors m.(Z/G) est nul, donc G contient mZ.
Comme Z/G et Z/mZ ont même cardinal m, il s'ensuit que G=mZ.