"A. Caspis" <a_caspis@yahoo.com> writes:
Pendant longtemps les concepteurs de ponts, avions et machines Ã
vapeur se sont contentés de leur intuition. Heureusement on a fini
par inventer la science des matériaux, la mécanique des fluides et
la thermodynamique.
Tout comme les médecins ont réussi à développer leur discipline sans
l'aide des biologistes et des chimistes: jusqu'Ã un certain point.
La médecine ou la construction des ponts ne sont pas des disciplines
autonomes. Les mathématiques oui. L'unité des mathématiques est en
dehors des mathématiques comme le disait Gödel. Elle est dans
l'intuition du mathématicien et sa vision des essences mathématiques.
Aurait-on inventé de nouvelles géométries sans une réflexion sur les
fondements logiques de la géométrie euclidienne ?
Sans aucun doute. On n'a pas eu besoin des réflexions sur les
fondements logiques de l'arithmétique pour introduire les anneaux
commutatifs qui axiomatisent la partie calculatoire des entiers
relatifs. Les anneaux commutatifs ont été introduits pour généraliser
le théorème de factorisation en nombre premier à des anneaux non
factoriels. C'est Kummer qui a introduit, je crois, les notions
d'idéaux principaux et d'idéaux premiers. Et la motivation de tout
cela n'avait rien à voir avec les arguties vides des logiciens autour
de l'arithmétique. C'était pour démontrer le "théorème" de Fermat.
Concernant la découverte des géométrie non-euclidiennes, il est
surtout intéressant de se poser la question suivante : pourquoi a-t-il
fallu plus de vingt siècles pour comprendre que l'axiome des
parallèles ne se déduisait pas des autres axiomes ? Alors que ce n'est
finalement pas si compliqué que cela à comprendre. Réponse : car on
était prisonnier de la vision logico-axiomatique d'Euclide
justement. Dès qu'on a arrêté de faire de la logique pour refaire des
mathématiques, ici en l'occurence de la géométrie, la solution a été
aussitôt trouvée. C'est dire à quel point la vision logique des
mathématiques (ce que certains appellent le logicisme) paralyse le
développement scientifique au lieu de le booster.
David Hilbert.
