"Philippe 92" <nospam@free.invalid> a écrit dans le message de news:
mn.a45a7d89a133b07c.22155@free.fr...
Sans vérifier en détail cela me semble bon.
Recap :
Partager un triangle ABC en deux d'aires égales et de périmètre égal.
Ma solution de fainéant (donc évitant les calculs au maximum),
par contre c'est plus long à /expliquer/, car plus "textuel" :
Sans perte de généralité, on va dire sauf indication contraire que
P est sur AB et Q sur AC.
1) Prouver que I centre du cercle inscrit est sur la droite PQ
Soit M l'intersection de PQ avec la bisectrice de l'angle A.
h la distance de M aux côtés AB et AC.
L'aire de APQ = AP.h/2 + AQ.h/2 = (AB+BC+AC).h/4
Comme c'est Aire(ABC)/2 = (p.r)/2, avec les notations usuelles
r = rayon du cercle inscrit et p = (AB+BC+AC)/2,
on en déduit h = r et donc M est le centre du cercle inscrit I.
2) Construction de PQ à la règle et au compas.
En appelant x = AP et y = AQ, l'aire donne x.y = AB.AC/2
Le périmètre donne x+y = (AB+BC+AC)/2
et donc x,y solutions de X^2 - X.(AB+BC+AC)/2 + AB.AC/2 = 0
Et la construction par résolution classique à la règle et au compas
d'une équation du second degré :
Soit S le point sur AB avec AS = (AB+BC+AC)/4 (quart du périmètre)
Tracer la perpendiculaire en S à AB.
Soit U le milieu de AB et V le point sur AC avec AV = AB
Tracer la médiatrice de UV.
Ces deux droites se coupent en W. Un cercle de centre W passant par
U (et V) coupe AB en P et P' solutions.
On reporte l'une d'elle en Q sur AC.
3) Nombre de solutions.
A priori, la construction précédente répétée pour chacun des angles
A,B,C pourrait donner jusqu'à 6 solutions.
En fait, on va prouver qu'il y en a une ou trois (les deux dernières
pouvant être confondues).
PQ passant par I, le problème est équivallent à :
Trouver une droite passant par I, coupant ABC en deux aires égales.
Etudions le cas général d'une droite PQ passant par un point M
donné quelconque (dans ABC) et coupant ABC en deux aires égales.
L'enveloppe de PQ est un arc d'hyperbole (AP.AQ = cte) d'asymptotes
AB et AC.
P et Q étant limités intérieurs aux côtés, les positions limites de
PQ sont les médianes, P ou Q étant le milieu de AB ou AC, et
l'autre le sommet C ou B. L'arc d'hyperbole est tangent à ces
médianes en leur milieu.
De même avec les 2 autres possibilités à partir des angles B et C.
L'enveloppe de toutes les droites PQ coupant ABC en deux aires
égales est donc formé de trois arcs d'hyperboles, tangents aux
médianes en leur milieu, et délimitant une zone curviligne autour
du centre de gravité de ABC.
Les médianes et cette zone intérieure délimitent des régions qui
permettent de connaître le nombre de solutions, et sur quel angle.
Voir <http://mathafou.free.fr/imgg/fig155c.gif>
Si M est extérieur au triangle curviligne, une seule solution.
Si M est intérieur, il y a deux solutions supplémentaires.
Si M est sur l'arc d'hyperbole, ces deux solutions sont confondues.
On remplace 'M' par 'I' pour revenir à notre problème.
I étant sur chacune des droites PQ, s'il y a trois solutions elles
sont concourantes en I.
Ceci étant, les calculs précis de "linux" donnent un critère
quantitatif exact.
--
Philippe C., mail : chephip
avec free.fr comme domaine
site : http://mathafou.free.fr/ (divertissements mathématiques)
Jolie discussion géométrique qui me pose d'autres questions.
Si j'ai bien compris, les droites tangentes aux 3 arcs d'hyperboles sont
toutes les droites partageant le triangle en 2 aires égales.
Et celles qui passent par I sont exactement les droites solutions de notre
problème.
Le nombre de solutions dépend donc de la position du centre inscrit par
rapport à ce triangle hyperbolique.
Aussi en tenant compte de mes calculs et en comparant les longueurs des
côtés du triangle ABC on peut préciser la position du point I par rapport
aux médianes.
Enfin les 3 arcs d'hyperboles forment un vrai triangle car les arcs
d'hyperboles ont pour extrémités
les milieux des médianes.En effet le point de contact d'une tangente est
milieu de la portion de tangente
comprise entre les asymptotes.
Pour comprendre vos résultats sur les enveloppes des droites considérées,
j'ai i vérifié par le calcul que
l'hyperbole d'équation xy=bc/8 dans le repère (A,vect(AB)/c,vect(AC)/b) a
ses tangentes coupant les cotés AB et AC
du triangle ABC en P sur AB et Q sur AC telles que AP*AQ=bc/2.
Peut on expliquer géométriquement ce résultat?.
