linux a écrit :

...
CONCLUSION:
 Soit un triangle ABC où b<=a<=c.

Sauf erreur éventuelle le problème a une seule solution sauf lorsque
a^2+2ab-6ac+b^2+2bc+c^2>0  auquel cas le problème a 3
solutions.
A confirmer!!!!!

Bel effort.
Je ne suis pas fanatique des calculs, mais là bravo.
Sans vérifier en détail cela me semble bon.

Recap :
Partager un triangle ABC en deux d'aires égales et de périmètre égal.
Ma solution de fainéant (donc évitant les calculs au maximum),
par contre c'est plus long à /expliquer/, car plus "textuel" :

Sans perte de généralité, on va dire sauf indication contraire que
P est sur AB et Q sur AC.

1) Prouver que I centre du cercle inscrit est sur la droite PQ
   Soit M l'intersection de PQ avec la bisectrice de l'angle A.
   h la distance de M aux côtés AB et AC.
   L'aire de APQ = AP.h/2 + AQ.h/2 = (AB+BC+AC).h/4
   Comme c'est Aire(ABC)/2 = (p.r)/2, avec les notations usuelles
   r = rayon du cercle inscrit et p = (AB+BC+AC)/2,
   on en déduit h = r et donc M est le centre du cercle inscrit I.

2) Construction de PQ à la règle et au compas.
   En appelant x = AP et y = AQ, l'aire donne x.y = AB.AC/2
   Le périmètre donne x+y = (AB+BC+AC)/2
   et donc x,y solutions de X^2 - X.(AB+BC+AC)/2 + AB.AC/2 = 0
   Et la construction par résolution classique à la règle et au compas
   d'une équation du second degré :
   Soit S le point sur AB avec AS = (AB+BC+AC)/4 (quart du périmètre)
   Tracer la perpendiculaire en S à AB.
   Soit U le milieu de AB et V le point sur AC avec AV = AB
   Tracer la médiatrice de UV.
   Ces deux droites se coupent en W. Un cercle de centre W passant par
   U (et V) coupe AB en P et P' solutions.
   On reporte l'une d'elle en Q sur AC.

3) Nombre de solutions.
   A priori, la construction précédente répétée pour chacun des angles
   A,B,C pourrait donner jusqu'à 6 solutions.
   En fait, on va prouver qu'il y en a une ou trois (les deux dernières
   pouvant être confondues).
   PQ passant par I, le problème est équivallent à :
   Trouver une droite passant par I, coupant ABC en deux aires égales.
   Etudions le cas général d'une droite PQ passant par un point M
   donné quelconque (dans ABC) et coupant ABC en deux aires égales.
   L'enveloppe de PQ est un arc d'hyperbole (AP.AQ = cte) d'asymptotes
   AB et AC.
   P et Q étant limités intérieurs aux côtés, les positions limites de
   PQ sont les médianes, P ou Q étant le milieu de AB ou AC, et
   l'autre le sommet C ou B. L'arc d'hyperbole est tangent à ces
   médianes en leur milieu.
   De même avec les 2 autres possibilités à partir des angles B et C.
   L'enveloppe de toutes les droites PQ coupant ABC en deux aires
   égales est donc formé de trois arcs d'hyperboles, tangents aux
   médianes en leur milieu, et délimitant une zone curviligne autour
   du centre de gravité de ABC.
   Les médianes et cette zone intérieure délimitent des régions qui
   permettent de connaître le nombre de solutions, et sur quel angle.
   Voir <http://mathafou.free.fr/imgg/fig155c.gif>
   Si M est extérieur au triangle curviligne, une seule solution.
   Si M est intérieur, il y a deux solutions supplémentaires.
   Si M est sur l'arc d'hyperbole, ces deux solutions sont confondues.
   On remplace 'M' par 'I' pour revenir à notre problème.
   I étant sur chacune des droites PQ, s'il y a trois solutions elles
   sont concourantes en I.

Ceci étant, les calculs précis de "linux" donnent un critère
quantitatif exact.

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Philippe C., mail : chephip
avec free.fr comme domaine
site : http://mathafou.free.fr/   (divertissements mathématiques)