"linux" <x@club-internet.fr> a écrit dans le message de news:
48d49983$0$12435$7a628cd7@news.club-internet.fr...

"linux" <x@club-internet.fr> a écrit dans le message de news:
48d216d0$0$12436$7a628cd7@news.club-internet.fr...

"linux" <x@club-internet.fr> a écrit dans le message de news:
48d0b143$0$12434$7a628cd7@news.club-internet.fr...

"Philippe 92" <nospam@free.invalid> a écrit dans le message de news:
mn.849a7d890b5e02f8.22155@free.fr...

Pour le démontrer :
1) prouver que I est sur la droite.

Voilà un plan de la preuve peu originale qui établit que
I est sur la droite.
Soit une droite satisfaisantnt aux hypothèses.
On choisit les notations telles que les intersections P et Q de cette
droite avec les cotés du triangle soient situées respectivement sur les
cotés AB et
AC.
Soit le triangle ABC avec les notations traditionnelles.
AC=b,....
Raisonnons dans le repère (A,(1/c)*vect(AB),(1/b)*vect(AC)).
P et Q ont pour coordonnées (pc,0) et (0,qb).
PQ satisfaisant à l'énoncé
exige pq=1/2 et pc+qb=(a+b+c)/2.
I le centre du cercle inscrit a pour coordonnées (bc/(a+b+c),bc/a+b+c)).
La droite PQ a pour équation X/(pc)+Y/(qb)=1
On vérifie facilement à l'aide de pq=1/2 et pc+qb=(a+b+c)/2
que (bc/(a+b+c),bc/a+b+c)) satisfait à X/(pc)+Y/(qb)=1

Suite:

Soit le triangle ABC où l'on suppose  b<=a<=c.

Essayons de compter les droites PQ solutions.

Premier cas: P est sur AB et  Q sur AC.

AP et AQ sont alors les  racines positives de
T(X)=X^2 -((a+b+c)/2)*X+bc/2=0
respectivement inférieures à c et b.
Or T(b)=-b(a-b)/2 et  T(c)=-c(a-c)/2.
Ici T(b)<=0 et  T(c)>=0
T(X)=0 a bien des racines  qui  sont bien positives.
donc b entre AP et AQ et  c à l'extérieur de l'intervalle (AP,AQ).
AP<=b<=AQ<=c ne convient pas
Seul AQ<=b<=AP<=c convient.
On a donc une seule droite solution coupant les côtés AB et AC du
triangle.

Deuxième cas: P est sur CA et  Q sur CB.

CP et CQ sont alors les  racines positives de
T(X)=X^2 -((a+b+c)/2)*X+ab/2=0
respectivement inférieures à b et a.
T(b)=b(b-c)/2<=0 et T(a )=a(a-c)/2<=0.
T(X)=0 a bien des racines  qui  sont bien positives
et  b et a sont entre les racines CP et CQ.
Soit  CP<=b<=a<=CQ qui ne convient pas ainsi que
CQ<=b<=a<=CP.
Pas de droite solution coupant les côtés CA et CB du triangle.


Troisième cas plus délicat  : P est sur BA et Q sur BC.

BP et BQ sont alors les  racines positives de
T(X)=X^2 -((a+b+c)/2)*X+ac/2=0
respectivement inférieures à c et a.
T(a)=a(a-b)/2>=0 et T(c)=-c(b-c)/2>=0
Ici donc on n'est même pas assuré que T(X)=0 a des racines
et si ces racines existent alors c et a sont tous deux à l'extérieur de
(BP,BQ).
Aussi je repousse à plus tard peut être l'étude de ce cas.

Cependant lorsque b<=a<=c et a,b,c sont presque égaux donc le triangle est
presque équilatéral alors on a BP<=AQ<=a<=c ou BQ<=AP<=a<=c ce qui donne
deux droites solutions dans ce cas.

CONCLUSION PROVISOIRE:

Une droite au moins solution.
Si le triangle est presque équilatéral (à préciser) 3 droites exactement
solutions.
A suivre peut être. A suivre peut être.

On rappelle b<=a<=c.
Remarquons d'abord que si  a<(b+c)/3 alors a<(b+a+b)/3 car c<a+b.
Donc on aurait 2a<2b ce qui est faux par hypothèse.
On a donc toujours a>=(b+c)/3

Essayons alors de développer ce 3 ème cas:

i)Si a^2+2ab-6ac+b^2+2bc+c^2<0
T(X)=0 n'a pas  de racines donc pas de droite solution
donc au total une seule droite solution.

ii)a^2+2ab-6ac+b^2+2bc+c^2>0 T(X)=0 a deux racines.

c et a sont à l'extérieur de  (BP,BQ) dans ce cas mais comme  a>=(b+c)/3
alors a>=(a+b+c)/4 donc a et c sont supérieurs tous deux à BP et BQ.  donc
 BP<=BQ<=a<=c ou BQ<=BP<=a<=c donc deux droites solutions supplémentaires
et au total 3 droites solutions.

CONCLUSION:
 Soit un triangle ABC où b<=a<=c.

Sauf erreur éventuelle le problème a une seule solution sauf lorsque
a^2+2ab-6ac+b^2+2bc+c^2>0  auquel cas le problème a 3
solutions.
A confirmer!!!!!