Je te donne la solution complète, mais c'est bien parce qu'on est
le premier mai. Je pense que rédigé ainsi c'est ce que ton prof
attend, mais le but du jeu est bien de réaliser qu'il ne s'agit
pas d'une bidouille qui marche par miracle mais l'indication d'un
résultat général sur les polynômes que vous pourrez étudier plus
tard, ou l'an prochain.

on pose l'égalité recherchée pour x dans D :

(2x^3 + 3x - 7x + 3)/(x^2 + 2x - 3) =  ax + b + (cx + d)/(x^2 + 2x - 3)

on met au même dénominateur à droite, on obient l'équation équivalente :

(2x^3 + 3x - 7x + 3)/(x^2 + 2x - 3) =
                       [ (ax + b)(x^2 + 2x - 3) + cx + c ]/x^2 + 2x - 3)

comme x est dans D, x^2 + 2x - 3 n'est pas nul, ceci équivaut à (on
développe en même temps à droite) :

2x^3 + 3x - 7x + 3 = ax^3 + (2a + b)x^2 + (c - 3a + 2b)x + (d - 3b)

là on raisonne un peu à l'envers (selon le principe : "prenons nos
désirs pour des réalités"), en l'absence d'un théorème bien connu
d'algèbre : Si jamais les coefficients de x^3, x^2, x et le terme
constant de ces deux polynômes (à gauche et à droite) étaient égaux,
alors l'équation serait bien vérifiée pour tout x dans D (tu es
bien d'accord ?) :

Voyons ce que ça impose pour a, b, c et d :

terme en x^3 : a = 2
terme en x^2 : 2a + b = 3 donc b = -1
terme en x   : c - 3a + 2b = -7 donc c = 1
terme constant : d - 3b = 3 donc d = -1

Vérifions alors que l'on retombe bien sur f(x) :

   2x - 1 + (x-1)/(x^2 + 2x -3)
= [ (2x - 1)(x^2 + 2x -3) + x -1 ]/(x^2 + 2x -3)
= (2x^3 + 3x^2 - 7x + 3)/(x^2 + 2x -3)
= f(x)

Nous avons donc établi que pour tout x dans D :

f(x) = 2x - 1 + (x-1)/(x^2 + 2x - 3)