On Sat, 17 May 2008 22:04:51 +0200, Julie <julie.83.fr@orange.fr>
wrote:

ok merci c'est sur que c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais fait.
Encore une petite question
Quelle est la méthode pour montrer de lim x^n=a^n lorsque x tend vers a?
parce que cette fois on ne peut pas se servir de la meme chose que pour
la racine carrée
peut etre est ce qu'il faut utiliser que
x^n - a^n =(x-a)(x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1))
est ce que c'est ça ou bien faut-il utiliser autre chose ??

si on veut faire une preuve uniquement via eps, alpha oui

x devant tendre vers a, on peut supposer x proche de a
par exemple
supposons x dans ]a-1;a+1[ (mais à la place de 1 on pourrait prendre
n'importe quoi d'autre : 100 ou 0.01)
donc |x|=|x-a+a|<=|x-a|+|a|<|a|+1 (a n'est pas forcément positif)

et alors |a*x^k|<(|a|+1)^(k+1), puisque |a|<|a|+1
et ainsi pour x dans ]a-1;a+1[

|x^(n-1)+a*x^(n-2)+a^2*x^(n-3)+...+a^(n-2)x+a^(n-1)|<=n(|a|+1)^(n-1)=K

(note : ce K ne dépend que de a et n qui sont des quantités fixées au
départ ; l'inégalité est stricte pour tout n>=2)
d'où prenons alpha=min(eps/K,1)

et supposons |x-a|<alpha
alors |x-a|<1, donc la majoration ci-dessus est valable
donc |x^n-a^n|<=K|x-a|, et comme aussi |x-a|<eps/K
on a bien |x^n-a^n|<eps