sotwafits wrote:

Julie a écrit :

Bonjour,
je ne parviens pas à montrer l'équivalence entre les différentes définitions du produit scalaire.
j'aimerais montrer que les définitions suivantes sont équivalentes :
1) u.v=||u||*||v||*cos(u,v)
2) déf avec le projeté orthogonal
3) u.v=1/2*(||u+v||^2-||u||^2-||v||^2)
4) u.v=xx'+yy' où (x,y)coord de u et (x',y')coord de v

Alors pour montrer que 1 et 2 sont équivalentes ça ne me pose pas de problème car ça résulte de la définition du cos

mais par contre je n'arrive pas à montrer 3 ou 4.

Quelqu'un pourrait il me mettre sur la piste ??!
Merci d'avance
Julie

Bonjour

2)=>3) :
Supposons u non nul, soit w le projeté orthogonal de v sur vect(u)
Soit w'=v-w

D'après Pythagore :
||u+v||^2 = ||u+w||^2 + ||w'||^2 (*)

Comme u et w sont colinéaires :
||u+w||^2 = ||u||^2 + 2u*w + ||w||^2
où u*w désigne le produit "algébrique" de 2 vecteurs colinéaires
(u*w = +-||u||.||w|| selon qu'ils ont le même sens ou non)
u*w=u.v d'après 2)
Donc ||u+w||^2 = ||u||^2 + 2u.v + ||w||^2 (**)

En injectant (**) dans (*) :
||u+v||^2 = ||u||^2 + 2u.v + ||w||^2 + ||w'||^2

Or d'après Pythagore : ||w||^2 + ||w'||^2 = ||v||^2

Donc ||u+v||^2 = ||u||^2 + 2u.v + ||v||^2
CQFD

On hésite à casser une telle unanimité touchante.

Vous êtes tous deux d'accord que
"relativement à une certaine base" = néant,
que par conséquent
"coordonnées relativement à une certaine base" = "coordonnées dans l'absolu",
que "vecteur" = coordonnées,
que grandeur physique = nombre,
et que "unité physique" = néant...

Par conséquent changer de base est une opération dangereuse... Et à
éviter par dessus tout sera une base non orthonormale. Pas question en
particulier de traiter de problèmes de cristallographie, où les angles
sont le plus souvent tous non droits, et les vecteurs de base non
normés entre eux. Pas question non plus de traiter d'un solide
élastique déformé...

Bon, je vous donne quand même la traduction en coordonnées, de la
définition intrinsèque :
V.W = Somme sur les indices m et n, des produits g_mn.v^m.w^n

Le tenseur g_mn est le tenseur métrique *de la base en vigueur*.
Cours : http://lavaujac.club.fr/SYNTAXV1_.htm ou http://lavaujac.club.fr/SYNTAXV1_.pdf

Les coordonnées du tenseur métrique, sont un tableau carré de produits
scalaires de chaque vecteur de la base par chaque vecteur de la base.
Par exemple si le premier vecteur de base e_1 est de longueur un
mètre, la coordonnée g_11 vaut 1 m² : un mètre carré.

Quand on accepte de faire des définitions et des calculs ainsi
complets, on peut se permettre sans danger les coordonnées
inhomogènes, telles que cylindriques, sphériques, etc. Le tenseur
métrique suit, et les coordonnées aussi. Ah oui, les coordonnées aussi
sont des grandeurs physiques. Ce ne sont que dans de très rares cas
spéciaux - justement les cas scolaires - que les coordonnées sont sans
dimension physique, de simples nombres.

Voilà comment, grâce aux radotages scolaires où les auteurs se
recopient les uns les autres de génération en génération, le monde
mental ment monumentalement.

--
La science se distingue de tous les autres modes de transmission des
connaissances, par une "croyance" de base : nous croyons que les
experts sont faillibles, que les connaissances transmises peuvent
contenir toutes sortes de fables et d’erreurs, et qu’il faut prendre
la peine de vérifier, par des expériences.
-- Jacques Lavau  (retirer les anti et les spam pour le courriel)
http://lavaujac.club.fr