Julie a écrit :

Dans votre démonstration vous avez mis :
"Comme u et w sont colinéaires :
 ||u+w||^2 = ||u||^2 + 2u*w + ||w||^2"   (&&)

mais j'ai supposé que la norme est définie comme une distance ie ||vecteur AB||=distance entre le point A et le point B.
Mais je ne peux pas me servir du fait que ||u||^2=u.u
Puisque je le démontre ensuite grace à ma définition du produit scalaire.
Donc je ne peux pas utiliser l'égalité (&&).

Comment faire dans ce cas ?

C'est justement parce que u et w sont colinéaires qu'on peut écrire (**)
||u+w||^2 = ||u||^2 + ||w||^2 + 2u.v (**)

Je détaille ce point que je n'avais pas détaillé :
-Si u et w sont de même sens, alors ||u+w||=||u||+||w||, donc :
||u+w||^2 = ||u||^2 + ||w||^2 + 2||u||||w||
Or ||u||||w||=u.v dans ce cas, donc (**) est vrai

-Si u et w sont de sens contraire, alors ||u+w||=+-(||u||-||w||)
||u+w||^2 = ||u||^2 + ||w||^2 - 2||u||||w||
Or -||u||||w||=u.v, donc (**) est vrai