Julie a écrit :

Bonjour,
je ne parviens pas à montrer l'équivalence entre les différentes définitions du produit scalaire.
j'aimerais montrer que les définitions suivantes sont équivalentes :
1) u.v=||u||*||v||*cos(u,v)
2) déf avec le projeté orthogonal
3) u.v=1/2*(||u+v||^2-||u||^2-||v||^2)
4) u.v=xx'+yy' où (x,y)coord de u et (x',y')coord de v

Alors pour montrer que 1 et 2 sont équivalentes ça ne me pose pas de problème car ça résulte de la définition du cos

mais par contre je n'arrive pas à montrer 3 ou 4.

Quelqu'un pourrait il me mettre sur la piste ??!
Merci d'avance
Julie

Bonjour

2)=>3) :
Supposons u non nul, soit w le projeté orthogonal de v sur vect(u)
Soit w'=v-w

D'après Pythagore :
||u+v||^2 = ||u+w||^2 + ||w'||^2 (*)

Comme u et w sont colinéaires :
||u+w||^2 = ||u||^2 + 2u*w + ||w||^2
où u*w désigne le produit "algébrique" de 2 vecteurs colinéaires
(u*w = +-||u||.||w|| selon qu'ils ont le même sens ou non)
u*w=u.v d'après 2)
Donc ||u+w||^2 = ||u||^2 + 2u.v + ||w||^2 (**)

En injectant (**) dans (*) :
||u+v||^2 = ||u||^2 + 2u.v + ||w||^2 + ||w'||^2

Or d'après Pythagore : ||w||^2 + ||w'||^2 = ||v||^2

Donc ||u+v||^2 = ||u||^2 + 2u.v + ||v||^2
CQFD