"Michaël Grünewald" <michaelgrunewald@yahoo.fr> a écrit dans le message de
news: 48da11e4$0$11224$426a74cc@news.free.fr...
Valeri Astanoff wrote:
Bonjour à tous,
Je sèche avec mon neveu sur la démonstration de cette identité.
Quelqu'un pourrait-il nous mettre sur la voie?...
Variante:
cos(2pi/9) cos(4pi/9) cos(8pi/9) = - 1/8
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Amusez-vous bien,
Michaël
on a aussi cos(2pi/7)cos(4pi/7)cos(6pi/7)=1/8 :
Soit T_n le poly de Tcheby ( cos(nArccos(x)) pour x dans [-1;1] ; ses
racines sont cos((2k-1)pi/(2n)) pour k=1, 2, n)
on considère T_4(cos(u)) - T_3(cos(u))=cos(4u)-cos(3u)
c'est facile de trouver les valeurs de u annulant cette expression
et on en déduit que 1, cos(2pi/7), cos(4pi/7), cos(6pi/7) sont
racines distinctes de T_4(X)-T_3(X)
or T_4-T_3=8X^4-4X^3-8X^2+3+1 est de degré 4
(note : en divisant par X-1 et en normalisant, on obtient le poly minimal
des trois nombres
cos(2pi/7), cos(4pi/7), cos(6pi/7))
on en déduit (produit des racines) que cos(2pi/7)cos(4pi/7)cos(6pi/7)=1/8
pour cos(2pi/9) cos(4pi/9) cos(8pi/9) = - 1/8
idem en considérant T_5-T_4 qui lui est de degré 5
