On Sun, 05 Oct 2008 02:14:49 +0000, sal wrote:

On Sun, 05 Oct 2008 00:29:58 +0200, Joe Cool wrote:

sal a écrit :

Joe Cool wrote:

sal a écrit :

Peut-on avoir deux modÚles des nombres réels qui n'ont pas le
même cardinalité?

Vu que l'arithmétique du second ordre (suffisante pour formaliser
les réels)

Je crois que vous voulez dire la logique de premier ordre, n'est-ce
pas?  Dans la logique de premier ordre on ne peut pas quantifier sur
les ensembles, et, par consequent, on ne peut pas exprimer le concept
"dénombrable".   En revanche, le logique du second ordre est plus fort,
et on peut exprimer le concept "dénombrable" la-bas, bien sûr.

admet un prédicat de vérité syntaxique, elle admet un modÚle
dénombrable, un omega-modÚle, donc pas un modÚle bizarroïde.

Eh?  Je croyais que le axiome de "completeness" de Cauchy impliqué
que les réels ne sont pas dénombrable?

Non, pas les réels de premier ordre.  Voir, par exemple,

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_L%C3%B6wenheim-Skolem

ou, plus complet mais en anglais,

http://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6wenheim-Skolem_theorem

Malheureusement, je ne sais pas exprimer le axiome de "completeness"
dans le logique de premier ordre.  J'ai encore un peu de recherche à
faire.

De même, il n'existe aucune bijection entre les entiers et les
machines de Turing qui bouclent; il existe une injection des entiers
dans les machines de Turing qui bouclent; pourtant l'ensemble des
machines de Turing est dénombrable.

TrÚs joli!  L'ensemble des machines de Turing, il es dénombrable;
l'ensemble de machines que ne boucle pas, il es dénombrable aussi;
mais, l'ensemble de machines que boucle, il n'est pas dénombrable!

Merci; trés chouette.


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