Sujet: Re: Cardinalité de les nombres réels
De: pragmatist (l' arobase) nospam.org (sal)
Groupes: fr.sci.maths
Organisation: Usenet Monster -
http://www.usenetmonster.com
Date: 05. Oct 2008, 03:14:49
On Sun, 05 Oct 2008 00:29:58 +0200, Joe Cool wrote:
sal a écrit :
Joe Cool wrote:
sal a écrit :
Peut-on avoir deux modèles des nombres réels qui n'ont pas le même
cardinalité?
Vu que l'arithmétique du second ordre (suffisante pour formaliser les
réels) admet un prédicat de vérité syntaxique, elle admet un modèle
dénombrable, un omega-modèle, donc pas un modèle bizarroïde.
Eh? Je croyais que le axiome de "completeness" de Cauchy impliqué que
les réels ne sont pas dénombrable?
Les réels, oui; mais leurs modèles, pas forcément (cf. le paradoxe de
Skolem). Les réels sont dénombrables tout en étant «non dénombrables»
(attention aux guillemets!).
Merci pour le référence; le théorème Löwenheim-Skolem est apparement
ce que je voulais.
Mais ... je ne comprends rien de ce que vous avez dit à l'égard de la
différence entre les réels et leurs modèles. Les nombres réels que on
utilise sont une modèle de les réels, n'est ce pas? Par ailleurs, la
preuve q'ils ne sont pas dénombrable est une preuve quant à la
modèle des réels, n'est ce pas? La théorie de les réels est
clairement dénombrable; seulement la modèle est non-dénombrable
.... si?
En revanche, la preuve doit exister dans la modèle; peut-être, dans
une modèle de les réels, les nombres réels sont apparement
non-dénombrable, mais hors de la modéle, la modèle, lui-même, est
dénombrable. Est-ce que ce près à ce que vous voulez dire?
Dans ce note ici, quand je dit que deux ensembles ont "la même taille"
j'entends qu'il existe une bijection entre les deux.
Énorme abus de langage…
Désolé!
Admettons que vous parlez de «taille» et non de
taille.
De même, il n'existe aucune bijection entre les entiers et les
machines de Turing qui bouclent; il existe une injection des entiers
dans les machines de Turing qui bouclent; pourtant l'ensemble des
machines de Turing est dénombrable.
Oups! Il y a beaucoup d'ans, j'ai etudié les machines de Turing, mais
quelque chose la-bas n'est pas correct.
Si on a une injection de A Ã B, et on a une injection de B Ã A, on peut
construire une bijection entre A et B. Par consequent, si un ensemble
est dénombrable, n'importe quel sous-ensemble doit être dénombrable
aussi. Et, ensuite, si l'ensemble des machines de Turing
est dénombrable, l'ensemble des machines de Turing qui bouclent est
dénombrable aussi (s'il est bien-definé) -- ou, si le dernier n'est
pas dénombrable, le premier non plus.
J'ai dit qu'une telle bijection n'existait pas, je n'ai pas dit que
son existence était contradictoire. Vous pouvez aussi affirmer que
les lutins existent et prouver cela dans le système cohérent ad
hoc. Tout comme il y a la taille et la «taille», il y a exister et
«exister».
Je dois penser plus long sur ça.
--
Nospam ---> physicsinsights pour courriel
