On Sat, 04 Oct 2008 19:39:55 +0200, Joe Cool wrote:

sal a écrit :

Peut-on avoir deux modÚles des nombres réels qui n'ont pas le même
cardinalité?

Vu que l'arithmétique du second ordre (suffisante pour formaliser
les réels) admet un prédicat de vérité syntaxique, elle admet un
modÚle dénombrable, un omega-modÚle, donc pas un modÚle bizarroïde.

Eh?  Je croyais que le axiome de "completeness" de Cauchy impliqué que
les réels ne sont pas dénombrable?

Donné n'importe quel liste de Cauchy séquences, dénombré par les
nombres entiers, on peut construire une autre séquence qui n'est pas
dans le liste par "diagonalization".  Cette preuve, elle est semblable
à le preuve que les nombres rationnels sont du mésure nul.  On entoure
chaque nombre avec une boule ouverte, de que la taille est réduit de
moitié, pour chaque nouvelle boule.  Pour construire une nouvelle
séquence, on choisit chaque nombre telle que elle est hors de tous les
boules précédent.  Évidemment, cette nouvelle séquence ne converge pas
à aucune des nombres sur le liste.

Évidemment, je ne connais pas comment ecrire le "completeness"
axiome dans l'arithmétique du seconde ordre!

Je connais que on peut bâtir les nombres réels "construirable"
("constructable" en anglais), mais dans cet cas on doit affirmer
seulement que tous les séquences de Cauchy qui sont "construirable"
converge.

Certainement, il y a plus des nombres réels que des nombres
entiers; ça, c'est vrai pour n'importe quel modÚle.

Sûrement pas pour les modÚles dénombrables. Dans votre phrase «plus»
ne veut rien dire.

J'étais imprécis.  Je comprends bien que on doit être prudent en ce
qui concerne la "taille" d'un ensemble infini, mais je suis parfois
fainéant.

Dans ce note ici, quand je dit que deux ensembles ont "la même taille"
j'entends qu'il existe une bijection entre les deux.

On peut dire qu'il n'existe aucune bijection des
réels dans les entiers; on peut dire qu'il existe une injection des
entiers dans les réels; mais ça ne veut pas dire qu'il y a «plus» de
réels que d'entiers.

Seulement parce que la phrase "plus de réels que d'entiers" n'est pas
précisement defini.

De même, il n'existe aucune bijection entre les entiers et les
machines de Turing qui bouclent; il existe une injection des entiers
dans les machines de Turing qui bouclent; pourtant l'ensemble des
machines de Turing est dénombrable.

Oups!  Il y a beaucoup d'ans, j'ai etudié les machines de Turing, mais
quelque chose la-bas n'est pas correct.

Si on a une injection de A à B, et on a une injection de B à A, on
peut construire une bijection entre A et B.  Par consequent, si un
ensemble est dénombrable, n'importe quel sous-ensemble doit être
dénombrable aussi.  Et, ensuite, si l'ensemble des machines de Turing
est dénombrable, l'ensemble des machines de Turing qui bouclent est
dénombrable aussi (s'il est bien-definé) -- ou, si le dernier n'est
pas dénombrable, le premier non plus.

Il n'y a pas «plus» de réels que d'entiers: ils sont juste plus
compliqués que les entiers.

Mais, quand même, il y sont beaucoup des modÚles des nombres réels,
et je ne suis pas sûr que tout les modÚles sont de la même taille.

Ne pas confondre la taille et le cardinal; ce sont des notions
différentes.

Oui, oui, mais ça, ce n'est pas le question ici.


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