sal a écrit :
Joe Cool wrote:
sal a écrit :
Peut-on avoir deux modèles des nombres réels qui n'ont pas le même cardinalité?
Vu que l'arithmétique du second ordre (suffisante pour formaliser les réels) admet un prédicat de vérité syntaxique, elle admet un modèle dénombrable, un omega-modèle, donc pas un modèle bizarroïde.
Eh? Je croyais que le axiome de "completeness" de Cauchy impliqué que les réels ne sont pas dénombrable?
Les réels, oui; mais leurs modèles, pas forcément (cf. le paradoxe de
Skolem). Les réels sont dénombrables tout en étant «non dénombrables»
(attention aux guillemets!).
Dans ce note ici, quand je dit que deux ensembles ont "la même taille" j'entends qu'il existe une bijection entre les deux.
Énorme abus de langage… Admettons que vous parlez de «taille» et non de
taille.
De même, il n'existe aucune bijection entre les entiers et les machines de Turing qui bouclent; il existe une injection des entiers dans les machines de Turing qui bouclent; pourtant l'ensemble des machines de Turing est dénombrable.
Oups! Il y a beaucoup d'ans, j'ai etudié les machines de Turing, mais quelque chose la-bas n'est pas correct.
Si on a une injection de A à B, et on a une injection de B à A, on peut construire une bijection entre A et B. Par consequent, si un ensemble est dénombrable, n'importe quel sous-ensemble doit être dénombrable aussi. Et, ensuite, si l'ensemble des machines de Turing
est dénombrable, l'ensemble des machines de Turing qui bouclent est
dénombrable aussi (s'il est bien-definé) -- ou, si le dernier n'est
pas dénombrable, le premier non plus.
J'ai dit qu'une telle bijection n'existait pas, je n'ai pas dit que son
existence était contradictoire. Vous pouvez aussi affirmer que les
lutins existent et prouver cela dans le système cohérent ad hoc. Tout
comme il y a la taille et la «taille», il y a exister et «exister».
--
Joe Cool
