Le Tue, 22 Apr 2008 17:54:24 +0200, Axelxandre a écrit :

Bonjour à tous.

Mon fils (niveau seconde) m'a posé une simple question à laquelle je
suis incapable de répondre (mon niveau résiduel en math étant très
faible)

Voilà : A-t-on donné un nom et/où existe-t-il un symbole spécifique
permettant de noter l'opération consistant à réduire un entier naturel
supérieur à 10 à un chiffre unique et ce, par addition récurrente de
tous les chiffres constituants cet entier naturel ?

Ex :

op(593) = 5+9+3 = op(17) = 1+7 = 8 -> op(593) = 8

Deuxième question : Pour les quatre opérations, quels outils utiliser
pour étudier les propriétés de relation entre l'ensemble N et l'ensemble
(1,2,3,4,5,6,7,8,9) déterminé par cette opération op(x).

Mon, fils m'a posé ces questions parce qu'il a trouvé que si a*b=c,
alors op( op(a) * op(b) ) =  op(c) mais ne sait pas le prouver.

Quelques pistes ?

Merci à tous

Alex

C'est effectivement le reste modulo 9 (avec l'astuce de remplacer 0 par
9). Je l'enseigne en 6ème en début d'année pour jouer les propriétés de
l'écriture décimale puis, plus tard, pour expliquer la preuve par 9.

Effectivement op(a+b)=op(a)+op(b) et idem pour la multiplication.

Idée de démonstration :

Lemme : op(N) est le reste de la division euclidienne par 9 sauf pour les
multiples de 9 pour lesquels op(N)=9

On écrit : a= 9xq + op(a) où q est le quotient de la division euclidienne
si *a* n'est pas divisible par 9, sinon c'est le quotient moins un.
Idem b=9xt + op(b)

Alors on peut écrire a+b = 9*(q+t)+op(a)+op(b) et avant de conclure,
distinguer quelques cas...

De même axb=9 x ( 9xqxt + qxop(b) + txop(a) ) + op(a) x op(b) et, avant
de conclure, encore distinguer des cas...

Comme la preuve par 9 est (trop) connue, je fais aussi la preuve par 11,
pour jouer avec les nombres relatifs en 5ème mais aussi en 6ème avec des
exemples numériques ne faisant pas intervenir d'entiers négatifs : il
faut faire non pas la somme des chiffres mais la somme alternée en
partant des unités:

593 devient 3-9+5=-1 donc le reste de la division euclidienne de 593 par
11 est "-1" c'est-à-dire 10 = 11+(-1). Effectivement : 530+53=593-10.

On a alors les mêmes propriétés pour l'addition et la multiplication :
avec la preuve par 9 et par 11, on obtient la preuve par 9x11=99 qiu
commence à être intéressante pour vérifier les calculs à la main.

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La tête, c'est un os, ça peut pas avoir mal.