Le 22/04/2008 20:05, Axelxandre a écrit :

Je ne sais pas dans quelle classe on en parle, mais cette opération est
grosso modo équivalente au modulo, c'est-à-dire au reste de la division
par 9. La seule différence avec le reste, c'est que, pour un nombre non
nul mais divisible par 9, on trouve 9 et non pas 0. Pour tous les autres
il y a identité entre op(N) et le reste de la division de N par 9.

Excusez-moi. Je vais devoir faire appel à votre patience. "Pour un nombre
non nul mais divisible par 9", on trouve 9 comme élément "neutre". 9 est
l'élément neutre pour op(N). J'ai bien compris.

Euh... je n'ai pas parlé d'élément neutre, juste du résultat de op(N)
pour un N divisible par 9 mais strictement supérieur à 0. Je crois
que le terme exact est « l'image de N par la fonction op », mais mes
souvenirs de maths sont assez anciens.

Je ne pense pas en outre que le terme « élément neutre » ait vraiment un
sens ici (sauf quand on essaiera d'additionner des op(N), ce qui n'est
pas encore le cas à ce point de mon discours).

Par contre, pour votre dernière phrase, cette identité est évidente
(puisqu'elle est posée par le problème lui-même)

Ah ? Il était donc si évident que :
- si N % 9 > 0, op(N) = N % 9
- si N % 9 = 0, op(N) = 9
pour tout N > 0, en notant « % » le reste de la division euclidienne ?

C'est comme si je vous
disais que 2+2 étant égal à 4, vous répondiez à votre classe d'élèves que
c'est normal puisque 4-2 est égal à 2.

Je ne comprends pas en quoi cet exemple illustre ce que je disais. Noter
au passage que je n'ai jamais eu de classe d'élèves : je suis ingénieur
en informatique.

C'est un système "opératif" que
demandait mon fils. Ainsi, comment noter de façon précise op(N) dans f(N).
Auriez-vous quelques aides à m'apporter à ce sujet ? Juste une formule.
Comment déterminer son op(N) en f(x) ?

Cf. supra.

Une méthode plus concise sera par exemple (toujours pour N > 0) :
 op(N) = ((N - 1) % 9) + 1

C'est la base de ce qu'on appelle par abus de langage la « preuve »
par 9.

Oui, mais comment le démontrer de façon simple et concise à mon fils

En revenant aux fondamentaux ?

N1 = 9.q1 + r1 avec 1 <= r1 <= 9; op(N1) = r1
N2 = 9.q2 + r2 avec 1 <= r2 <= 9; op(N2) = r2

N1+N2 = 9.q1 + r1 + 9.q2 + r2
      = 9.(q1+q2) + (r1+r2)

Si 1 <= r1+r2 <= 9
   op(N1+N2) = r1+r2
et
   op(op(N1)+op(N2)) = op(r1+r2) = r1+r2

Si 10 <= r1+r2 <= 18
   op(N1+N2) = r1+r2-9
et
   op(op(N1)+op(N2)) = op(r1+r2) = r1+r2-9

.... mais ce serait plus facile à démontrer avec des restes entre 0 et 8,
quoique le résultat soit équivalent.

[ nombres premiers, infini, etc. ]

Hum... Si c'est un troll, ç'aurait été sympa de le dire plus tôt : je
t'aurais mis immédiatement dans ma boîte à trolls et je n'aurais pas
perdu de temps à répondre. En supposant que ce n'en est pas un, je continue.

La question que je posais : Comment prouver de façon concise que si a*b=c,
alors
op( op(a) * op(b) ) =  op(c) ?

De la même façon que pour l'addition. Là encore il serait plus simple de
le faire en prenant 0 au lieu de 9 pour les nombres multiples de 9.

(je vous rappelle que je suis nul en math)

Ah ? Pas autant que moi, alors, car je n'ai aucune idée de la
signification de « système de distribution réglé qui se voudrait
infiniment distribué ».